Den logiske strukturalisme har gjort matematik til et trist fag uden appel til fantasien og med den største udfordring at sætte tal ind i de korrekte formler
Et af halvhjerneforskernes populære resultater er, at vi bruger halvdelene forskelligt. I den ene er vi kreative, fantasifulde og musiske, mens den anden er hjemstedet for det gustne overlæg, de kolde beregninger og den kedsommelige logik. Lige noget for en matematiker, siges det.
Selv om matematikken opstod i musernes hjemsted Alexandria, er det blevet en udbredt opfattelse, at matematik er de kolde hjerners hjemmebane, de kreative humanisters yndlingsaversion. Voltaires opfattelse, at Archimedes var mere fantasifuld end Homer, er aldrig blevet populær.
Tværtimod svinger den udbredte opfattelse fra Storm P.'s trøst: "Ak ja, livet er svært - men matematik er sværere", til Fritz Jürgensens berømte ord: "Men hvad bringer Dig til at smile? Der er aldeles ikke noget forlystende ved Mathematik - tværtimod!" Opfattelser der står i modsætning til matematikernes egenforståelse, som f. eks. Auguste de Morgans: "Den drivende kraft i matematiske opdagelser er ikke ræsonnementer, men fantasiforestillinger." Eller J. J. Sylvesters: "Som naturvidenskabernes væsen er at dyrke smagen for iagttagelse, er det matematikkens væsen, omtrent fra begyndelsen, at stimulere forestillingsevnen."
Hvem har mest fantasi i anekdoten om ingeniøren, fysikeren og matematikeren, der på en togrejse ser ud ad vinduet og får øje på to sorte får. Ingeniøren udtaler, at her i landet er fårene nok sorte, mens fysikeren kun går med til, at der er mindst to sorte får. Matematikeren nøjes med at hævde, at der er to får, der er sorte på den ene side. Er det pedanteri eller fantasi at forestille sig får, der er sorte på den ene side?
Nu er det matematikkens formål at sætte os i stand til at løse problemer, der er for vanskelige at klare alene med vor medfødte intelligens. Det fungerer på den måde, at når en matematiker har løst et problem ved hjælp af en idé, så giver han sig straks til at analysere fremgangsmåden for at forvandle den til en metode, man kan videregive til den næste generation. Og derved flyttes sagen fra musernes verden til bogholdernes. Fra nu af skal problemet blot klassificeres, så finder man sit trekantstilfælde i formelsamlingen.
Som A. N. Whitehead formulerer det, er det en helt igennem fejlagtig påstand, gentaget af alle afskrivere og fremtrædende personer, når de holder taler, at vi skulle dyrke den vane at tænke over, hvad vi gør. Det nøjagtig modsatte er sagen. Civilisationen går fremad ved at udvide omfanget af de vigtige operationer, som vi kan udføre uden at tænke over det. Tankeoperationer er som kavaleriangreb i et slag. De er stærkt begrænsede i antal, de kræver friske heste og må kun anvendes i det rigtige øjeblik.
Her berører vi matematikundervisningens dilemma: Mange kan lære at løse problemer ved typebestemmelse, og de keder sig under indøvelsen, mens få kan genfinde den gode idé og i stedet blive begejstret ved forståelse af metoden. Det er igen et eksempel på forskellen mellem leg og arbejde. Der er et virkeligt behov for en differentieret undervisning, som gode lærere da også altid har søgt at give. Men man får let sat sig mellem stolene, så nogle finder det for svært, andre for kedeligt, men ingen interessant.
Men dilemmaet stikker dybere end til den enkelte undervisningssituation. Skolefaget som sådant har lidt betydelig overlast af forsøg på at lære eleverne at udføre operationer uden at tænke over dem. Til opgaver af formen 'Når 7 kg kartofler koster 14 kr, hvad koster så 8 kg?", blev den såkaldte 'regula de tri' indlært: At man skal gange andet med tredje led og derefter dele med det første, altså udregne 14x8/7=16. Der blev ikke levnet meget til den fri fantasi.
Matematik bliver både svært og kedeligt, når man skal lære den slags ubegribelige metoder udenad. Men som lord Kelvin har sagt: "Tro ikke, at matematik er svært og indviklet og i strid med sund fornuft. Den er snarere kvintessensen af den sunde fornuft. Det, man først har forstået, er der ingen ben i. Men man skulle gerne opleve en forståelse, helst ved selv at gennemskue sammenhængen."
Det emne, der egner sig bedst til at vise matematikkens sande ansigt, er geometri. I legen med passer, lineal og forestillingen om plan og rum, har man udfoldelsesmuligheder for sin fantasi. Og her får man mulighed for at indøve den såkaldte analyse af et problem.
Vi tænker os opgaven løst og spørger om, hvad der kan siges om løsningen. I heldige tilfælde fører analysen enten til løsningens entydighed eller dens umulighed. I første tilfælde er blot tilbage at godtgøre, at det entydigt bestemte forslag løser opgaven. Analysen er et vigtigt bidrag til den åndelige udvikling, nemlig et ræsonnement ud fra en hypotese.
Blandt problemerne giver især konstruktionerne lejlighed til at bruge fantasien. Men konstruktionerne giver også i den såkaldte forklaring af løsningen til opgaven en indsigt i bevisførelse med motivationen placeret det rigtige sted: Hos konstruktøren, der skal forsvare sine handlinger. Forklaringen til en konstruktion er et bevis for, at de angivne tegninger fører til det ønskede mål.
Det er nemlig med beviser, som Hans Reichenbach har formuleret det: "Smagen for logisk analyse minder om smagen for østers, for så vidt som at man skal lære at kunne lide den."
Nu er det et væsentligt hjælpemiddel i analysen at se bort fra uvæsentlige omstændigheder. Denne proces er en generalisation, som er en effektiv metode, men som jo også fører til abstraktioner, der kan forekomme nok så luftige. Når man skal arbejde med dem, er det ikke nok at indskrænke aksiomernes antal, man må også have fantasifostre at befolke sine verdener med. Men principielt er det ligegyldigt, som Bertrand Russel siger: "Ren matematik består udelukkende af sådanne sætninger som, at hvis sådan og sådan en påstand er sand om noget som helst, så er sådan og sådan en anden påstand også sand om den samme sag."
Det er væsentligt ikke at drøfte, hvorvidt den første påstand er sand i virkeligheden og ikke at nævne hvad det noget, som påstanden gælder for, er.
Hvis vor forudsætning formuleres for hvad som helst, og ikke for denne eller hin specielle sag, så udgør vore slutninger matematik. Derfor kan matematik defineres som det emne, hvor vi aldrig ved, hvad vi taler om, eller om det vi siger, er sandt.
Disse principper, sammen med en bemærkning fra Felix Kleins Erlangerprogram, at det væsentlige i geometrien er de flytningsgrupper, som de forskellige kongruenser giver anledning til, førte Jean Piaget til sin strukturalisme. Det har ledt til en fokusering på de abstrakte begreber gruppe, mængde og topologi uden sikkerhed for, at disse tomme verdener blev befolket med den mindste lille nisse. Som Piaget selv siger: "Afskåret fra deres oprindelse ender strukturerne som tomme former eller ord; opretholdes derimod forbindelsen, forbliver de uløseligt knyttet til den genetiske og historiske konstruktivisme og til det handlende subjekt.
I virkelighedens verden tog strukturerne pladsen fra geometrien, og uden den fik fantasien ingen næring. Der har dog fundet en reaktion sted på strukturalismens værste skud, mængder og grupper i de små klasser. De er næsten udryddet og undervisningen her er præget af både fantasi og entusiasme. Men i de større klasser har man et problem med at finde appellerende pensum. Man har aldrig fundet en velegnet erstatning for geometrien.
Foruden tabet af fantasi har man med geometriens afskaffelse sprunget over indlæringen af smagen for logisk analyse.
Ved at flytte vægten fra forsvaret af egne meninger til udenadslære af en logisk kalkyle, har man gjort beviset til et belastende appendix til sætningen. Mange elever har fundet det overflødigt. De var jo villige til at tro læreren på hans ord. Vel nok et rimeligt udgangspunkt i en undervisningssituation, men undergravende for matematikkens antiautoritære væsen, hvor enhver kan få ret, hvis han kan overbevise med sine argumenter.
Belastningen blev dog snart ophævet ved tilladelsen til at medbringe formelsamlinger og lærebøger nårsomhelst. Derved lærte vi et pudsigt psykologisk fænomen: En formel, man ikke prøver at lære, kan man slå op 100 gange uden at lære den. Med denne udvidelse af hukommelsen tabte beviset sin stabiliserende funktion, nemlig at en sætning med bevis er lettere at huske korrekt. Med de evindelige opslag faldt denne funktion også bort.
Uden funktion degenererede beviserne til det, Bent Christiansen har kaldt eksempler på deduktive forløb. Degenerationen gik så vidt, at også præcise definitioner forsvandt. En funktion blev kontinuert, hvis dens grafiske fremstilling kunne tegnes uden at blyanten løftedes fra papiret. Rumfang findes ved at fylde figuren med vand, der så hældes over i et målebæger.
Med sådanne oplysninger er der ikke meget at gøre rede for. Goethes berømte ord kan nu forstås i en ny betydning: "Matematikerne er en slags franskmænd: Taler man til dem, så oversætter de det til deres sprog, og derved bliver det straks noget helt andet.
Således afmuset blev matematik et trist fag uden appel til fantasi og med den største udfordring at kunne sætte rigtigt ind i den formel, man lige har fundet i samlingen.
Nu vil man sikkert hævde, at det har mindre betydning, at talenterne kan mindre end før. Men de bedste talenter er måske gået med muserne andetsteds, og de talenter, der holder ved, når kun til at klare langt simplere opgaver, end dem, hvis løsning er påkrævet.
Det er derfor på høje tid at erindre sig Harald Bohrs bemærkning: "Kan man ikke lære andet af matematik, kan man lære, hvor let det er at tage fejl!"
Vi må begynde med at indse afmusningens fejltagelse og ønske os Urania tilbage, ikke Melpomene!
*Mogens Esrom Larsen er lektor Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
